データベースのパスを調整する方法がやっとわかった

インストーラーじゃなくてAppDomainをいじるのは盲点だった、というおはなし
データベースの接続文字列にDataDirectoryという変数が使われているとき、この値をアプリで書き換えてやればよかったようです。

AppDomainとは

.NETにおいて、アプリが実行される環境をまとめたもののようです。ひとつのプロセスで複数のアプリを起動しても、環境をAppDomainにくくりだすことで、システムに対して起きる悪影響を抑えることができるのだとか。

もうひとつ注意点

ProgramFilesフォルダーにデータベースを置いてもうまくいきません。書き込み権限がないためこけてしまいます。私の場合、ユーザーごとに与えられているAppData\Localというフォルダーがあるのでそこに置くようにしました。